테일러 급수(Taylor Series)

소프트웨어 전공생이 항공우주 및 기계공학과 석사 과정에서 이해해본 테일러 급수 내용입니다.

다소 미흡한 부분이 있을 수 있으니 틀린 부분은 알려주세요 ㅜ^ㅜ 

 

 

테일러 급수란 ?

테일러 급수의 핵심은 복잡하고 다루기 어려운 함수를 다루기 쉬운 다항 함수로 근사(Approximation)하는 것이다. 

 

예를 들어 수학에는 sin(x) 또는 e^x와 같이 계산하거나 미분하기 복잡한 함수들이 많다. 

반면 f(x) = a + bx + cx같은 다항함수는 계산(더하기, 곱하기)이 쉽고 미분도 간단하다. 

 

이 둘의 차이를 좁히는 것이 바로 테일러 급수이다. 

특정 지점(x_0)근처에서 복잡한 함수와 다항 함수의 모양이 거의 똑같아지도록 만들자 라는 아이디어에서 출발한다 

 

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근사(Approximation)하는 방법 

 

f(x)의 근사 다항식 

 

복잡한 식이지만 3가지 결국 3가지 핵심 요소를 사용한다.

 

① 기준점의 값: f(x_0)

기준점 x_0 에서의 함수의 실제 높이 f(x_0)를 맞춘다 

 

② 기준점에서의 기울기: f'(x_0)

기준점 x_0에서의 함수의 기울기(1차 미분값)를 맞춘다. 

직선으로 근사하는 방법으로 이 과정을 선형화(Linearization)이라 부른다.

 

③ 기준점에서의 굽은 정도: f''(x_0)

도함수로는 기울기를 구할 수 있지만 2계도함수를 통해 함수의 굽은 정도, 즉 오목성과 볼록성을 판정할 수 있다.

 

 

1차 미분 → 2차 미분 → 3차 미분 .. 더 많은 미분항을 추가할수록 근사 함수(다항 함수)는 원래 함수와 점점 같은 모양이 된다. 

 

 

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테일러 급수에서 주의해야 할 점 

 

좌변과 우변이 모든 x에 대해서 같은 것이 아니라, x = x_0로 정해둔 근처에서만 성립한다는 것이다. 

즉, x가 x_0에서 멀어질수록 기존 f(x)와 추정된 f_est(x)의 값은 점점 큰 차이를 가진다. 

 

또한 근사다항식의 차수는 높을수록 f(x)를 좀 더 잘 근사하게 된다. 

 

 

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연구실에서 사용하는 테일러 급수 

출처 : ublox

 

인공위성을 통해 positioning을 계산할 때 사용한다. 인공위성 데이터를 받아 X,Y,Z,t(시계오차) 에서 위치(xyz)를 통해 거리를 계산한다.

 

위의 테일러급수 1항까지 사용한 식(7a)에 (6a)와(9a)를 합치면 (10a)을 유도할 수 있다. 

여기서 변수의 정의, 함수의 정의가 중요한데 차근차근 따라가보자 

 

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f 정의 

우리가 어떤 값을 구하고자 하는가를 알면 f(x)를 쉽게 구할 수 있다.

사용자의 실제 위치를 나타내는 미지 오차 값들을 정의하기 위해 이 값들을 미지수로 가지는 실제 거리를 f(x)로 잡는다. 

위성 i로부터 사용자까지의 실제 기하학적 거리 R을 계산하는 함수를 정의한다. 

 

 

 

미지수 정의 

우리가 구하고자 하는 값인 사용자 위치를 미지수로 둔다. 

 

 

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유도 과정 

 

우선 i에서의 PesudoRange, PSR이다. 

인공위성과 사용자의 실제 거리에 오차거리(c*delta(t))를 더하면 수신기가 측정한 PesudoRange(가상거리)가 나온다. 

R_total은 X_total(근사 위치)를 Ri함수(거리공식)에 대입하여 계산된 이론적인 추정 거리 값이다. 

 

 

f(x)에 PSR, f(x0)에 선형화된 R_total을 이용하여 7a에 대입하면 10a와 같은 식이 나온다.