[과제] Kepler's Equation과 Newton Raphson

지난 과제에서는 궤도의 위치와 속도 벡터를 통해 COEs를 구하는 과정을 역산하는 코드를 구성해보았다. (only in my computer)

 

그런데 COEs 중 v, 즉 true anomaly를 입력받지 않고 우리가 알고싶은 시점 또는 n시간 이후의 궤도 정보를 알기 위해서 코드를 짜라는 과제를 내어주셨다 ! 그리고 이 궤적을 2D(Perifocial 좌표계), 3D(ECI 좌표계)

 

도비는 생각했다. 내가 이걸 이틀만에 할 수 있을까 ..? 

그래도 해야지 ~~

항상 과제에 자신 없을 때나 or 너무 큰 과제 받았을 땐 큰 일을 쪼개서 작게 만드는 분할 및 정복 알고리즘을 활용해보자. 

 

분할 및 정복(Divide and Conquer)

 

1. 수치해석 공부하기 (Wiesel chapter2) - 이해하면 최고 but 이해못하면 외워서 풀기 

2. 매트랩에서 인공위성 궤도 그리는 함수 or class 공부 - 아마 satelliteScenario 일듯 ? 

3. 몰니야 궤도(이심률 높음)를 이용하라 하셔서 몰니야 궤도 공부 

아직 극지방 탐사, 러시아 위성이라는 것만 안다 ! 

4. 궤도요소와 true anomaly 대신 시간 t를 받고 궤도 그리기 (2D먼저, 3D 추가로)  

 

악 어려워 

하지만 교수님께서 말씀하시길 .. 어렵고 새로운 것을 배우는 것이 공부라고 하셨슨 

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수치해석 - Newton Raphson 

 

 

고교과정까지는 자명해가 딱 나온다. 그러나 현실세계는 어떤가 ! 자명한 해가 나오지 않는 경우가 훨씬 많다. (마치 나의 인생처럼) 

그러니 우리는 근사해(not wonderful)를 찾아야한다. 해와 가장 가까운, 해와 동일하진 않지만 해라고 가정해도 문제가 되지 않는 근사해말이다. 그리고 이 근사해를 구할 수 있는 방법 중 하나가 Newton-Raphson방법이다. 미분을 사용하기에 Newton이 있고 이 뉴턴의 아이디어를 명확하게 정리하고 일반화 한 사람이 랩슨임 !! 

 

그럼 이 Newton-Raphson의 아이디어를 살펴보자. 대수적으로 풀리지 않는 (일명 초월함수라고 불리는) 함수를 풀기 위해서 접선(미분)을 사용해서 해를 찾는 방법이었슨 

 

함수 f(x) = 0의 해를 찾고 싶을 때, 

1. 현재 추정값x_n에서 

2. 그 점의 접선을 긋고 

3. 그 접선이 x축과 만나는 점(접선방정식의 해)을

4. 다음 추정값 x_n+1로 삼는다. 

 

 

처음에 이 과정이 조금 이해가 어려웠는데 현재 예제에 나온 E- esinE -M식으로 설명해보겠다. 

E-esinE-M은 Mean Anomaly에서 바로 true anomaly구하기가 어려워서 매개변수처럼 사용하는 Eccentric Anomaly를 M을 통해 구하는 과정이다.

(이 과정도 포스팅 작성중이긴한데 언제쯤 올라가려나) 

 

앞서 말한 것 처럼 초월함수라 해를 직접적으로 구할 수 없어서 단순 iteration을 사용하다가 미분 사용하는 Newton-Rapson을 배워보라하셔서 학습한 내용이다. 

 

이거 5번정도 따라 적으면서 식 하나씩 이해하면 조금은 이해 가능 

 

거의 10번정도 적어본 것 같은데 아직 모호한 부분이 있음 

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인공위성 궤도 그리기는...

매트랩 satellite 내장함수 이용이 아직 어려워서 따로 공부하고 포스팅 해보겠다. 

일단 plot과 for문으로 애니메이션 그려봄 

 

 

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몰니야 궤도 

러시아에서 사용하는 몰니야 궤도 

러시아어로 번개라는 뜻으로 고위도 지역에서 통신 및 원격 탐사를 위한 커버리지를 제공하도록 설계된 궤도의 일종이다. 

이심률이 굉장히 커서 (0.7정도) 사용해보라고 하셨다. 원이 이심률이 0인 것 감안하면 굉장히 큰 이심률을 가지고 있다. 

 

이 궤도는 특정 부분의 반구 상공에서 오랜 시간 머무르며 그 반대쪽에서는 빠르게 이동한다(케플러 제 2법칙 적용, 근지점에서 번개처럼 빠르게 이동해서 몰니야라는 이름이 붙었음 ). 그래서 고위도 지역을 대상으로 하는 통신 및 감시 위성에 몰니야 궤도가 높은 시야각을 제공해준다. 

 

출처 : 위키피디아

궤도 요소	a	e	i
값	26600km	0.737	63.4

 

장축 반지름으로 인해 주기를 구해보면 약 12시간이 나온다. 

 

이 몰니야궤도가 골때리는게 J2섭동의 효과를 장점으로 사용한 궤도라 RAAN, Argument of Perigee가 항상 변함 

Perifocal 좌표계에서는 문제 없지만 ECI좌표계를 나타낼 때 RAAN, perigee 요소를 어떻게 줘야할지가 고민인 궤도 

 

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내일 이어서 할 과제 : 

일단 매트랩으로 pqw좌표까지 그렸으나 .. 뭔가 마음에 안든다. 
satellite 객체도 조금 더 찾아보고 satellitescenario도 찾아보고 해야지 ..... . . . .. . 

 

그리고 ECI좌표계를 표현할 때 RAAN, w 가 필요한데 (기울기 i는 제외하고) 이 값들은 시간에 따라 변화하는 변수다. 이 변수를 어떻게 적용해서 3D좌표를 그릴 수 있을지에 대한 고민도 필요할 것 같다.