[GNSS] Lagrange 보간법

정밀 궤도력(SP3)데이터를 받았는데 15분 간격으로 위치가 찍혀있다.

그런데 나는 18분 뒤의 위성 데이터가 필요한데, 어떻게 하면 좋지 ? ? 

 

이번에는 위 문제를 해결하기 위한 방법, 보간법 중 하나인 'Lagrange보간'에 대해 작성해보고자 한다.

Lagrange 보간은 구하고자 하는 시점 주변에 데이터가 많을수록 오차가 줄어든다. 

 

 

Lagrange 보간법 

라그랑주 보간법이란 주변 n+1개의 데이터 점의 실제 위치값에 각각의 가중치를 곱해 합산하는 방식이다. 이 때 가중치는 구하려는 시점이 기준 시점과 가까울수록 커지고 멀어질수록 작아지도록 설계되어 결과값으로 정밀한 예측 위치를 산출한다. 

 

즉, 가까운 점의 특성을 더 많이 반영하고, 멀리 있는 점의 영향을 줄여 곡선을 만든다고 이해하면 된다. 

 

Lagrange 보간법의 기본식은 다음과 같다. 

출처: 이은수 (2004),  Lagrange 보간법을 이용한 GPS Data 보간,충남대학교 대학원

• $f(t_j)$: $j$번째 시간에 이미 알고 있는 위성의 실제 위치(SP3 파일에 적힌 값)
• $L_n^j(t)$: 내가 알고 싶은 시간 t가 j번째 데이터 점과 얼마나 가까운지에 따른 가중치
• $P_n(t)$ : 각 점의 위치에 비중을 곱해 합산한 최종 예측 위치

 

Lagrange 보간법 활용

그림 1

그림1은 SP3데이터에서 입수한 위성 위치 중 X 좌표만 그린 결과이다. 어? 그런데 이상하다. 분명 SP3는 15분 간격으로 위치를 찍어준다고 했는데... 15분 간의 간격을 매꾸어주는 것이 바로 Lagrange 보간이다. 위성은 15분동안 가만히 있지 않고 수백km를 움직인다. GPS위성만해도 1초당 4km를 이동하는데, 15분이면 대략 3,600km를 이동하는 것이다. 그래서 그 사이의 위치를 알기 위해 라그랑주 보간식을 직접 돌려 곡선을 만들어내는 것이다. 차수는 사용자가 결정하면 된다. 

 

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참고문헌 

이은수 (2004), Lagrange 보간법을 이용한 GPS Data 보간(Interpolation of GPS Data Using Lagrange Interpolation Method ), 충남대학교, 대학원