[궤도역학] 궤도 결정에서 수치 적분과 해석해

궤도 결정의 가장 간단한 모델은 TBP, Two Body Problem(2체 문제)으로 Kepler Equation을 통해 계산할 수 있다. 지난한 개념이라 이해하기 어려웠는데 이제서야 좀 개념이 확립되는 것 같아서 정리 차원으로 다시 작성해본다. 궤도 적분 하는 과정을 담은 글이다. 필자 또한 완전히 이해하지 않고 작성한 글이라 어딘가 허술하다. 

 

궤도 적분 시리즈 

eulode 사용법 : 매트랩 수치적분 Euler ODE solver

Orbit Propagation - TBP, Euler법을 활용한 기초

 

궤도적분 응용 : 3차원 궤도 적분과 검증

 

---

Kepler 방식 vs 수치 적분 

 

시간에 따른 상태를 어떻게 정의하는가가 가장 큰 차이이다. 공식에 대입해서 바로 답을 찾는가(해석해) or 잘게 쪼개서 한 걸음씩 움직여 보는가(수치 적분)의 차이이다. 

 

 

1. 해석해(Kepler 방정식 방식) 

 

출처: researchgate.net

 

뉴턴의 운동 법칙을 수학적으로 미리 다 풀어놓은 완성된 공식을 사용하는 것이다. '궤도는 타원형'이고 '면적 속도는 일정'하다는 기하학적 법칙을 사용한다.

 

순서 | t(시간) → Mean Anomlay(M) → Eccentric Anomaly(E) → True Anomaly(v) 순서로 계산하여 위치를 찾는다. 

 

이 때, Eccentric Anomaly가 필요한 이유는 Mean Anomaly(원 궤도)에서 바로 True Anomaly(타원 궤도)를 바로 찾을 수 없기 때문이다. Mean과 True 사이의 다리 역할을 하는 것이 바로 Eccentric Anomlay이다. 자세한 내용은 세가지 각 설명에서 볼 수 있다. 

 

이 과정에서 Mean Anomaly와 Eccentric Anomaly를 계산하는데 있어, 수치 해석적인 방법이 필요하다. 

한번에 정확한 값이 나오지 않기 때문에 Newton-Rapson방법을 이용하여 반복 계산을 해야한다. 

처음에 '수치해석'이라는 개념을 모를 땐, 수치 적분을 쓴다 vs 수치 해석 방법을 쓴다 라는 개념이 어려웠다. 

 

 

2. 수치적분(Cowell's Method) 

 

우리가 흔히 아는 가속도 미분 방정식을 컴퓨터를 이용해 시간에 따라 아주 짧은 간격으로 누적 계산하는 방식이다. 지금 이 순간의 힘(가속도)를 알면 아주 짧은 시간 뒤의 속도와 위치를 알 수 있다는 물리적 정의를 반복하는 것이다.

 

 

순서 | 현재 위치/가속도 → 가속도 계산 → 아주 짧은 시간 이동 → 새로운 위치/속도 갱신 (반복) 

 

해석해보다 정확도는 떨어지지만 수치적분을 사용하는 강력한 장점이 있다. 바로 중력뿐만 아니라 공기 저항, 태양광압 등 외력을 가속도 항에 더하기만 하면 반영할 수 있다는 것이다 !! 

 

 

공학 수학에 약한 나는 이런 고민이 들었다.

 

미리 다 풀어놓은 완성된 공식의 의미가 뭐지? 미분 방정식과 Mean Anomlay - True Anomaly을 잇는 식 사이에는 어떤 관계가 있지? 

가속도 공식과 Kepler 방정식 사이에는 어떤 접점이 있는건지 궁금했다. 

 

결론적으로 말하면 Kepler 방정식은 가속도 미분 방정식을 시간(t)에 대해 통째로 적분해서 얻어낸 결과물이다. 

---

2.1. 가속도 공식 (출발점: Newton 운동 제 2법칙)

 

 

앞서 봤던 이 공식은 지금 이 순간 위성이 받는 힘과 가속도만을 고려한다. 그러나 우리가 할 것은 궤도 예측이다. 1시간 뒤에는 어디있지?라는 시간(t)과의 관계가 궁금한 것이다. 이 미분 방정식을 풀기 위해 어떻게 할까 .. 고민을 해보았다.

 

2.2. 에너지와 각운동량(중간 과정)

 

이 미분 방정식을 한 번 적분하면 에너지 보존 법칙과 각운동량 보존 법칙이 나온다.  

적분하는 과정이  쉽지 않다. 차근차근 따라해보자. 

 

 

가속도 공식에 위치 벡터를 외적한다. 

 

① 1st 적분: 케플러 제2법칙, 면적 속도 일정의 법칙 

• 우변은 같은 방향의 벡터끼리 외적하므로 0이 된다. (a×b 외적의 크기 = ||a|| * ||b|| sinθ)
• 좌변을 적분하면 각운동량(h = r × v) 라는 상수가 나온다. 
• 위성은 평면 위를 움직이며, 같은 시간 동안 쓸고 지나가는 면적이 일정하다는 케플러 제 2법칙을 수학적으로 증명한 것이다.

② 2nd 적분: 궤도의 모양 

 

가속도 공식에 방금 구한 각 운동량을 활용하여 Runge-Lenz 벡터를 활용하여 적분하면 타원의 방정식이 나온다. 

필자도 이 부분이 이해가 잘 가지 않아 자세한 내용은 따로 작성하도록 해야겠다. 

타원의 방정식

 

•  v는 True Anomlay를 의미한다. 
• 이 식에는 시간(t)가 없다 ! 
• 이게 왜 문제임? 이라고 할 수 있는데, 답해보자면 어디에 있는지는 알지만, 언제 거기에 있는지는 모르는 상태이다. 

 

③ 3rd 적분: 시간(t)과 각도의 연결 

 

 면적 속도가 일정하다는 사실을 이용해 시간을 적분한다. 

면적 속도 일정의 법칙

 

적분식

이 적분 식에서 ②에서 구한 r식을 대입해서 풀면 계산이 매우매우 복잡해진다. 그래서 이 계산을 쉽게 하기 위해서 앞서 말했듯 징검다리 역할의 Eccentric Anomaly(E)라는 가상의 각도를 도입한다. 

• r과 v사이의 관계를 E로 치환한다.
• 치환 적분을 수행하면 우리가 아는 식이 나온다. 

 

 

2.3. 결론 

요약해보면 가속도 공식을 한 번 적분해서 평면 운동(각 운동량)을 알아내고, 

또 한 번 적분해서 타원 모양을 알아낸 뒤, 

마지막으로 면적과 시간의 관계를 적분하여 케플러 방정식을 완성한 것이다. 

 

따라서 이 케플러 방정식은 가속도 미분 방정식을 시간 t에 대해 푼 최종 해답인 것이다 ! 

수치적분(Euler, RK4, ode45)은 미래를 알기 위해 지금부터 조금씩 답에 가까워지는 과정이라면, 

케플러 방정식은 시간(t)만 넣으면 미래의 위치가 즉시 튀어나오는 완성된 궤도에 가깝다. 

 

결과적으로 케플러 방정식은 뉴턴의 운동 방정식을 t에 관해 완전히 적분하여 얻어낸 해석해이다. 

 

---

앞으로 공부할 내용 

• 각운동량 h(=rv)와 H(=rIw)가 어떻게 다른지 
• RK4 수치적분 방식 
• 벡터 외적 복습 
• Newton-Rapson 복습